Projeto Eratóstenes

Medida do raio da Terra.

Fernanda dos Santos Mattos e Francisco Pazzini Couto

Por que é importante medir o raio da Terra?

• Porque ela é praticamente circular e logo deve ter um raio de curvatura
• Porque este valor permite estimar distâncias ainda maiores como:
  • Raio da Lua,
  • Distância Terra-Lua,
  • Distância da Terra ao Sol,
  • Raio do Sol,
  • Paralaxe de estrelas, etc.

Quais são as evidências de que a Terra é esférica?

Desde tempos remotos muitos foram os debates sobre a forma da Terra ser esférica ou plana. As civilizações antigas – e o nosso senso comum – acreditavam que a Terra era plana. O filósofo grego Aristóteles, foi um dos pensadores que defendeu a teoria de que a Terra era uma esfera. Mas foi em meados de 200 a.C que Eratóstenes conseguiu demonstrar por um método por ele desenvolvido que a Terra é uma circunferência e conseguir calcular seu tamanho e seu raio.

Quem foi Eratóstenes?

Eratóstenes de Cirene, foi um importante matemático da Grécia antiga, que trabalhou com astronomia, geografia, poesia, história entre outros temas, ficando muito conhecido por ser a primeira pessoa a calcular a circunferência da Terra. Nasceu em Cirene, na África em 276 a.C, porém viveu a maior parte do tempo em Atenas e em Alexandria. Faleceu em 194 a.C, e ao longo de sua vida fez descobertas importantes como o Crivo de Eratóstenes (para identificar os números primos e a medida da inclinação do eixo da Terra. Foi amigo e correspondente de Arquimedes. Foi chefe da Biblioteca de Alexandria, responsável por selecionar os livros a serem comprados e copiados.

O Método de Eratóstenes

O método foi desenvolvido devido algumas observações feitas por Eratóstenes, que percebeu que em uma certa época do ano acontecia o Solstício de verão. Ele analisou que precisamente ao meio-dia o Sol iluminava um poço em Siena de modo que o fundo do poço não apresentava nenhuma sombra em suas paredes, ou seja, no zênite. Porém em Alexandria na mesma data isso não acontecia com uma estaca fincada no chão. Supondo que os raios solares que chegam na Terra são paralelos, o matemático então percebeu que poderia calcular o ângulo entre a vareta e a sombra. E utilizando o ângulo encontrado calculou o raio da Terra.

Agora é com você: meça sua sombra e encontre o raio da Terra.

Para determinar o raio da Terra você precisa medir tamanho da sombra de uma vareta vertical (de altura conhecida) e registrar a data, local e horário desta medida. Mas antes vamos lembrar de alguns pressupostos necessárias para o cálculo:

1. Ângulos alternos internos- Teorema de Tales
2. Propriedades sobre o círculo
3. Propriedades do triângulo retângulo.
4. Uso de site que mostra onde o sol está no zênite.
5. Uso do GoogleMaps ou Google Earth
6. Regra de três.

1. Ângulos alternos internos – Teorema de Tales

O teorema de Tales diz que se duas retas a e b são paralelas e uma terceira reta cortas as duas, o ângulo que a reta transversal e a reta a é o mesmo que com a reta b, como demonstra a imagem a seguir.

2. Propriedades sobre o círculo

Quando dividimos o círculo trigonométrico em quatro partes iguais, temos os quatro quadrantes que o constituem. Na primeira figura tem-se o quadrante 1/4, que significa 1 parte de 4 partes totais, correspondendo ao ângulo central de 90° . Na segunda figura tem-se dois quadrantes que é o 2/4, sendo 2 partes em 4 totais, que corresponde ao ângulo central de 180°. Já terceira figura tem 3 quadrantes em 4 partes totais 3/4, com o ângulo central de 270° . E por fim tem-se o circulo completo 1, cujo o ângulo central é de 360°.

3. Propriedades do triângulo retângulo.

O triângulo retângulo é uma figura geométrica plana, composta por três lados e três ângulos internos. O que diferencia esse triângulo dos demais é que um dos seus ângulos inteiros é sempre igual a 90° (ângulo reto). Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes específicos: O lado que for oposto ao ângulo reto será chamado de hipotenusa e os outros dois lados serão chamados de cateto.

Tangente é uma função trigonométrica calculada a partir da divisão entre os catetos oposto e adjacente de um triângulo retângulo. Triângulo retângulo nada mais é do que uma figura geométrica com três ângulos internos e composto de catetos (menores lados) e hipotenusa (maior lado), conforme ilustração ao lado.

Dessa forma, calcula-se a tangente através da razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo.

Sendo assim, o cateto oposto é o comprimento da sombra e o cateto adjacente é a altura da vareta.

4. Uso de site que mostra em que ponto do globo terrestre o sol está no zênite.

O sol movimenta-se na esfera celeste diariamente do nascente para o poente, com inclinações diferentes ao longo do ano. Somente entre as regiões intertropicais é que o Sol pode estar a pino (zênite) em um determinado horário e dia específico do ano.

No site Time and date podemos localizar onde o sol está pino em uma certa data e horário. Ao acessar o site é possível ver uma aba com várias opções. Selecione a opção Sun & Moon.

Em seguida selecione a opção Day and Night Map, nela é possível obter as coordenadas do sol pino em um dado momento.

O resultado da localização onde o sol está a pino no globo terrestre é dado pela latitude que pode ser norte ou sul (North or South) e a longitude que pode ser Leste ou Oeste (East or West). Lembre-se que a latitude e medida a partir do meridiano de Greenwich e a longitude é mediada a partir do equador. Para encontrar as coordenadas do sol pino deve se preencher as seguintes informações de dia e horário. As informações devem ser de acordo com as medidas para o cálculo. No exemplo abaixo escolhemos o dia 20 de agosto de 2001 às 07:00 em Belo Horizonte.

Após preencher as informações devem clicar em Change Time, em seguida as coordenadas vão aparecer.

5. Uso do GoogleMaps

O GoogleMaps é um programa que permite localizar pontos na superfície terrestre e determinar a distância entre dois pontos marcados. Esta distância é a trajetória de menor comprimento possível. Essa medida de distância entre os dois pontos, no método de Eratóstenes, seria o ponto onde você faz o experimento de medida da sombra e o ponto onde o sol está pino (fornecido pelo Time and Data) no mesmo instante. No nosso exemplo, no dia 20 de agosto de 2001 às 7:00 o sol estava pino nas coordenadas: Latitude: 12° 21′ North, Longitude: 30° 51′ East A imagem a seguir mostras as coordenadas geográficas, onde na latitude o norte é positivo (+) e Sul é negativo (-). E na longitude o Leste é positivo (+) e o Oeste é negativo (-). Os sinais devem ser considerados na hora de colocar as coordenadas no GoogleMaps.

Para conseguir acessar a localização no GoogleMaps deve ser digitado na aba de pesquisa do como: 12°21’00.0″N 30°51’00.0″E

Em seguida clique com o botão direito na localização encontrada, em seguida selecione a opção Measure Distance.

Em seguida, escolha o a localização e em seguida será calculado a distância de um ponto ao outro.

Distância: 8,932.69 km (5,550.52 mi)

6. Regra de três

A regra de três é um método que relaciona grandezas diretamente proporcionais a fim de encontrar um valor desconhecido. Sejam duas grandezas A e B diretamente proporcionais, por exemplo, o volume de água (grandeza V) que sai de uma torneira aberta e o tempo (grandeza T).

Um exemplo prático

No dia 20 de agosto de 2001 às 07:00 da manhã em Belo Horizonte, mediu-se altura e a altura da sombra.
Altura: 1,65 m
Altura da sombra: 9,64 m
Em seguida utilizou-se o site Time and Date para obter as coordenadas do local no qual o Sol se encontrava a pino.
Coordenadas: 12°21’00.0″N 30°51’00.0″E
Utilizando o GoogleMaps foi determinada a distância do ponto medido ao sol pino.
Distância 8,932.69 km

A imagem acima ilustra o exemplo relacionando o sol pino com a sombra os raios solares.

A partir da obtenção do valor de 6377,69 km de raio encontrado pelo método, percebe-se grande proximidade ao valor de referência de 6.378,14 km encontrados atualmente utilizando tecnologias mais precisas. Erastóstenes pensou nesse método há muito tempo atrás, e mesmo sem todas as tecnologias e instrumentos de medida chegou num valor muito próximo utilizando seu brilhante conhecimento.

Fontes

O raio da Terra. Disponível em: < O raio da Terra –AstroCiência(wordpress.com) >

COHEN, M. R., and DRABKIN I. E. A source book in Greek science: Harvard University Press,1948.

HEWITT, Paul G. Física Conceitual. 12. ed. [S. l.]: Bookman, 2015.

ROGERS, E. M. Physics for the inquiring mind: the methods, nature, and philosophy of physical science. Princeton University Press, 2011.